Чужие Алгебраические Дополнения

Содержимое статьи:

Подзаголовок 1: Определение Алгебраическое дополнение элемента матрицы - это определитель матрицы, полученной путем удаления строки и столбца, содержащего данный элемент.
Подзаголовок 2: Чужое Алгебраическое Дополнение Чужое алгебраическое дополнение элемента матрицы - это алгебраическое дополнение элемента, находящегося в той же строке или столбце, но с противоположным знаком, при условии, что элементы находятся в разных строках и столбцах.
Подзаголовок 3: Сумма Произведений Элемента на Чужие Алгебраические Дополнения Сумма произведений любого элемента матрицы на его чужие алгебраические дополнения равна нулю. Это утверждение известно как правило чужих алгебраических дополнений.
Причина: Чтобы доказать это правило, рассмотрим матрицу A порядка n x n. Удалим строку i и столбец j, содержащие элемент a_ij. Получим матрицу D размера (n-1) x (n-1).
Определитель матрицы D:
det(D) = D_1j a_i1 - D_2j a_i2 + ... + (−1)^{n+j} D_nj a_in где D_kj - алгебраическое дополнение элемента a_kj в матрице D.
Умножим det(D) на a_ij:
a_ij det(D) = D_1j a_ij a_i1 - D_2j a_ij a_i2 + ... + (−1)^{n+j} D_nj a_ij a_in Так как чужие алгебраические дополнения имеют противоположный знак, все члены, кроме члена, содержащего D_ij, отменяются:
a_ij det(D) = (−1)^{i+j} D_ij По определению алгебраического дополнения:
a_ij det(D) = (−1)^{i+j} a_ij det(A) Так как det(A) является определителем матрицы A, получаем:
a_ij det(D) = 0 Для любого элемента a_ij в матрице сумма произведений элемента на его чужие алгебраические дополнения равна 0.